指数与指数函数 错题

（1）

 

（2）

 (lg2)2+lg5·lg20+ lg100;

根据对数的运算性质：这是化简本题的基础.   

结果为3

（3）

已知函数=（ex-1）。

（1）求的定义域；

（2）判断函数的增减性，并用定义法证明.

答案（1）；（2）函数f(x)在上递增。

解析试题分析：（1）x;     ………3分

（2）.函数f(x)在上递减………4分；

证明：设0<x₁<x_2,则，

因0<x₁<x_2，∴

∴  故，即

∴在定义域内是减函数。 ………12分

x2-x1>0

f(x2)-f(x1)<0

所以为减函数

考点：对数函数的性质：定义域、单调性。

点评：用定义法证明函数的单调性的步骤是：一设二作差三变形四判断符号五得出结论。其中三变形是重点，最好变成几个因式乘积的形式。

解法2：

　　g（x）=e^x -1   单调增函数

　　h(x)=log (1/2) x    红为真数   绿为底数    为减函数

　　f(x)=log (1/2) g(x)   为减函数

 

（4）

（本小题满分13分）已知函数的图象经过点（2，），其中且。

（1）求的值；

（2）若函数 ，解关于的不等式。

答案（1）；（2）。

解析试题分析：（1）∵函数的图象经过点（2，0.5）

∴，即 。      …………4分

（2）因，由是偶函数且在上为减函数，在是增函数知，原不等式转化为 ，解得 …………13分（讨论每解2分）

考点：指数函数的性质；不等式的解法；幂函数的单调性。

点评：直接考查指数函数和幂函数的单调性，我们要熟练掌握指数函数和幂函数的性质。属于基础题型。

解绝对值的不等式方法

 |1-t|>|3-2t|

　　a　　t<1时    1-t>0  即t<1 原式子化为1-t>|3-2t|   （1）3-2t>0  t<3/2时   1-t>3-2t   解得t>2  不成立   

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）3-2t<0  t>3/2  　　1-t>2t-3  解得t<4/3  不成立

　　b　　t>1时　　1-t<0 即t>1  原式化为 t-1>|3-2t|    （1）3-2t>0  t<3/2时   t-1>3-2t   解得4/3<t<3/2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）3-2t<0  t>3/2  　t-1>2t-3  解得3/2<t<2      　　此时（1）与（2）并集 可得       4/3<t<2  

   1

 

（5）

 

（lg 5）^2+lg2+lg5lg2=lg2+lg5(lg2+lg5)=1

注意写法

（6）

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体, 存在非零常数T, 对任意x∈R, 有f（x+T）=T

f（x）成立．

（1） 函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由;

（2）设f（x）∈M, 且T=2, 已知当时, f（x）=x+lnx, 求当时, f（x）的解析式．

（3）若函数，求实数k的取值范围．

解: (1) 假设函数f(x)=x属于集合M,

则存在非零常数T, 对任意x∈R, 有成立,

即: x+T=Tx成立.

令x=0, 则T=0, 与题矛盾.

故.

(2) , 且T=2, 则对任意x∈R, 有,

设, 则,

当时, ,

故当时, . 

(3）当k=0时，f(x)=0，显然f(x)=0∈M.  

当k≠0时，因为f(x)=sinkx∈M，

所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立，

即sin(kx+kT)=Tsinkx .      

因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，

于是sinkx ∈[-1，1]，sin（kx+kT） ∈[-1，1]，

故要使sin（kx+kT）=Tsinkx .成立，只有T= ，

①当T=1时，sin(kx+k)=sinkx 成立，则k=2mπ, m∈Z .  

②当T=－1时，sin(kx－k)=－sinkx 成立，即sin(kx－k+π)= sinkx 成立，

则－k+π=2mπ, m∈Z ，即k=－(2m－1)π, m∈Z 

综合得，实数k的取值范围是{k|k= nπ, n∈Z} 

 

（7）

根据给定的x的范围，确定二次方程的最值 确定x的范围  并获得对应二次方程的最值u

再根据u来确定y的最值根据单调增或者单调减  确定最大和最小的值   将u代入y的表达式从而确定a和b的值。

（8）

若关于x的方程25^-|x+1|-4×5^-|x+1|=m有实根，则m的取值范围______．

令t=5^-|x+1|，则关于x的方程25^-|x+1|-4×5^-|x+1|=m有实根即关于t的方程t²-4t=m有实根，又因为0＜t≤1，

且m=t²-4t=（t-2）²-4，

∴m的范围是[-3，0）．

故答案为：[-3，0）．

解法1：

（1/5）^{|x+1|       中|x+1| 一定大于0   所以前式 一定在0和1之间}

t²-4t-m=0   对称轴为2   所以较小的根即（4-根号下（16+4m））/2  在0和1之间   1为闭区间  所以解的   m的范围是【-3，0）

解法2：m=t²-4t    令y=m和y=t²-4t

　　画两个函数的图像    需要有两个图像有交点   所以  m的范围是【-3，0）

 (9)

解法1  t>0     解出用t表示a的表达式   然后根据不等式的解法  a方+b方>=2ab   得 a<=-8

 

解法2

b^2-4x4>=0......1      解的a>=0或者a<=-8

-(b/2a)>0..........2　　　解得 a<-4     

综合得（-无穷，-8】

(10)

已知函数(a、b是常数且a>0，a≠1)在区间[－，0]上有y_max=3，

y_min=，试求a和b的值.

令u=x2+2x=(x+1)2－1 x∈[－，0] ∴当x=－1时，u_min=－1  当x=0时，u_max="0" 

 

(11)

设：函数在区间（4，+∞）上单调递增；，如果“”是真命题，“或”也是真命题，求实数的取值范围。

    题中的x-a替换为|x-a|

∵函数f（x）=2^|x-a|的外函数y=2^u在其定义域R上为增函数

若函数f（x）=2^|x-a|在区间（4，+∞）上单调递增

则内函数u=|x-a|在区间（4，+∞）也要为增函数

又∵u=|x-a|在区间[a，+∞）为增函数

∴（4，+∞）⊆[a，+∞）

即a≤4；

q：由log_a2＜1得0＜a＜1或a＞2

如果“￢p”为真命题，则p为假命题，即a＞4

又因为p或q为真，则q为真，即0＜a＜1或a＞2

由

0＜a＜1或a＞2 a＞4

⇒a＞4，

可得实数a的取值范围是a＞4．

 （12）

已知函数f(x)= （a，b为常数，且a≠0）满足f(2)= 1且方程f(x)= x有唯一解  ，求函数f(x)的解析式

（13）

已知函数，且， 

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在定义域上的单调性，并证明；

（3）求证：方程至少有一根在区间.

（3）令，

因为，，

所以，方程至少有一根在区间（1，3）上.

略

解法2：

t=2^x

f(x)=1-2/(t+1)    g(x)=lnx

由t>0   得出   0<f(x)<1   x属于r

　　要0<g（x）<1  则0<lnx<1    则1<x<e  

所以（1，e）包含与（1，3）成立  定义域成立   至少有一个根在（1，3）中

（14）  

 不等式

(2)已知函数f(x)=2^x,x∈R.解关于x的不等式f(2x)+(a–1)f(x)>a

（3）若，求的最大值.

（3）令

则

                                12分

                          13分

，的最大值为                                     14分

 

 

(15)